sábado, 22 de octubre de 2011

Peonza o trompo

Trompo o peonza
Su matemática

Este juguete ha sido uno de los preferidos de los más chiquitines del planeta. El clásico trompo, peonza o perinola, es un cuerpo rígido de forma cónica, con una punta de acero a lo largo su eje longitudinal de simetría, alrededor del cual gira. Antes se fabricaban exclusivamente de madera, pero hoy en día con la aparición de los plásticos, se fabrica con estos materiales. Este juguete se conoce desde la antigüedad; algunos trompos de arcilla fueron descubiertos a orillas del río Eufrates en la antigua ciudad de Ur (Mesopotamia) que datan de 4.000 A.C.

Cuando se intenta colocar al trompo en reposo en posición vertical apoyado en su punta, nos damos cuenta de que es una acción menos que imposible; no permanece parado sin rotar. En esa posición está en equilibrio inestable y su peso actúa con un torque que lo hace caer al piso. Sin embargo, si rota con velocidad angular suficientemente grande, se mantiene erguido en equilibrio realizando los movimientos que se describen a continuación. Este comportamiento es característico de los cuerpos que giran y se conoce como efecto giroscópico. La energía para girar la obtiene del trabajo realizado por la persona que lo lanza; de esta manera, a medida que se desenrolla va adquiriendo, más y más, velocidad angular y energía cinética rotacional.

Mucha física encierra el baile y zumbido del trompo. Daremos una explicación breve sin caer en tanto tecnicismo exagerado. El lector interesado en mayor profundidad analítica puede consultar la bibliografía recomendada. Tiene masa m (simétricamente repartida), momento de inercia I, y un eje de simetría alrededor del cual gira; pero además del movimiento de rotación sobre sí mismo, en general, presenta un movimiento de precesión (línea azul segmentada en la figura anterior) cuando su eje de rotación da vuelta alrededor de la vertical y otro de nutación (no se dibuja) cuando cabecea a medida que gira.

Cuando gira con su eje inclinado el ángulo α respecto a la vertical, velocidad angular ω y momento angular L, como se muestra en la figura superior, está sometido a tres fuerzas: su propio peso p, la reacción del piso N y la fuerza de roce f_r, descontando la fricción con el aire. El peso produce un torque τ_p (en la figura, perpendicular al plano xy y dirigido hacia afuera), responsable de la precesión y es el que lo tumba cuando su velocidad angular es pequeña; la fuerza de reacción lo mantiene sobre el piso; y la fuerza de roce en la superficie de contacto con la punta, produce el torque τ_r(en la figura, apunta hacia la vertical), encargado de enderezarlo hasta que logra bailar con su eje en vertical sin precesar, así como de disminuir su momento angular inicial. Aquí se establece el carácter vectorial de las magnitudes remarcándolas en negrita.

Para entender su movimiento de precesión es necesario considerar que el momento angular L es una magnitud vectorial cuyo módulo es el producto del momento de inercia I alrededor del eje de rotación por la velocidad angular ω, es decir L = I ω. La dirección de L es igual a la que tiene el vector velocidad angular ω. Para el trompo, también se cumple la segunda ley de Newton para los cuerpos en rotación, que afirma que sí se aplica durante un intervalo de tiempo dt un torque τ a un cuerpo que gira, el momento angular cambia en dL, es decir:

Así que, el peso p = m g, aplicado en su centro de masa produce un torque τ_p = r_p x p, en dirección horizontal y perpendicular al momento angular L del trompo, donde r_p es el vector posición del centro de masa, medido desde el punto de apoyo de la punta (no se dibuja en la figura). Este torque produce, en un intervalo tiempo Δt una variación ΔL = τ_p Δt del momento angular, perpendicular al vector momento angular y paralela al torque. Al cabo de ese tiempo, el nuevo vector L tendrá el mismo módulo que antes pero habrá girado en la misma dirección de τ_p. A medida que el momento angular del trompo gira, su centro de masa también gira, al igual que la dirección de τ_p. Como el eje de rotación del trompo está inclinado, una variación ΔL del momento angular corresponde a una rotación del trompo alrededor del eje vertical, igual a:

Por consiguiente, el eje de rotación del trompo gira alrededor del eje vertical con una velocidad de precesión:

Según esta última ecuación, mientras mayor sea la velocidad angular ω del trompo, más lento será su movimiento de precesión alrededor del eje, lo cual se puede comprobar con un trompo clásico. Se puede observar que cuando gira muy lento, casi al final del movimiento, precesa más rápido hasta detenerse.

Por otra parte, para describir cómo el trompo, que empieza bailando con un movimiento de precesión, se endereza después de cierto tiempo; se requiere considerar que la fuerza de roce f_ractúa con un torque τ_r = r x f_r , perpendicular a r y paralelo al plano yz, cuando se encuentra ubicado a la izquierda como indica la figura de arriba. En la siguiente figura se han exagerado las dimensiones a fin de facilitar la explicación. Tal como se observa en la misma, el torque τ_r tiene dos componentes: una paralela del eje de simetría del trompo y otra perpendicular al mismo. La componente perpendicular hace que cambie la dirección del momento angular y lo va enderezando a medida que transcurre el tiempo, y la componente paralela hace que disminuya su magnitud en una cantidad muy pequeña, pero después de un lapso de tiempo suficientemente largo, el trompo se va deteniendo hasta que se cae. Desde el punto de vista de la conservación de la energía podemos decir que el trompo inicia su movimiento con energía cinética rotacional y energía potencial. A medida que gira, el roce de la punta con la superficie que lo sustenta y el roce de su cuerpo con el aire que le rodea, hace que la energía inicial se vaya transformando en energía térmica, hasta que finalmente, cae.

El movimiento de nutación es el cabeceo de su eje de simetría a medida que da vuelta alrededor de la vertical, debido a la oscilación de la magnitud y la dirección del momento angular L entre dos valores, uno máximo y otro mínimo. Se deja al lector riguroso con los modelos de la física, su estudio con la bibliografía que se adjunta.
Cuando el trompo gira libremente en el aire sin ningún tipo de apoyo, se comporta como un dispositivo mecánico conocido como giróscopo (giroscopio); mientras se mantenga “volando” en el aire, su eje de rotación no cambia de dirección debido a que el momento angular se mantiene constante al no existir ningún torque externo aplicado. El peso, la única fuerza que actúa, no produce en esta condición, ningún torque ya que su brazo es igual a cero. Esta propiedad mecánica, es aprovechada por los malabaristas del trompo para obligarlo, con el cordel, a realizar diferentes tipos de piruetas en el aire.

Los siguientes Videos muestran diferentes malabares ejecutados con trompos.