Matemática de la pandemia Covit-19
Orlando Escalona
Lo que se
describe a continuación no pretende ser un modelo de comportamiento de la
pandemia del coronavirus, para nuestro país, la República Bolivariana de Venezuela.
Sólo se trata de un ejercicio pedagógico de ajuste diario de datos usando la plataforma GeoGebra1.
En principio, la manipulación de la plataforma se encuentra al alcance de
cualquier alumno de los últimos dos años secundaria, aunque la fundamentación
teórica no.
En tal
sentido, se elaboró una tabla con los datos diarios del Número de personas
infectadas desde el día en que se reportó el primer caso, el cual fue el 14 de
marzo de 2020; a este día le corresponde en la tabla el número 1. Los datos son
los mismos reportados por el gobierno nacional, aunque también se pueden usar los de la
página Coronavirus2 .
Los datos
de la tabla anterior se introducen en GeoGebra y se acciona luego el botón de Análisis
de Regresión de dos Variable para visualizar la gráfica del Número de
infectados en función del tiempo, medido en número de días trascurridos. Al
principio, la gráfica muestra los datos en forma de puntos.
Luego se
hace el ajuste. La plataforma permite realizar diferentes tipos de ajustes:
lineal, potencial, exponencial, logarítmico, polinomial, entre otros. Para
analizar el comportamiento de la pandemia, se empieza realizando el ajuste
lineal. Este, por supuesto da buena cuenta del comportamiento de las variables,
pero sí detallamos bien los puntos, notaremos que aquellos que corresponden a
los días más recientes, tienden a alejarse levemente de la recta (más adelante
se justifica mediante el análisis).
En virtud
de lo anterior, se procedió a realizar el Ajuste Polinomial. Al optar por esta
opción, se observa cómo se despliega la representación gráfica de una curva con
concavidad hacia abajo. En la parte inferior del recuadro se aprecia la representación
analítica, que de manera general se puede escribir de la siguiente manera:
N = a T2 + b T + c,
donde N es
el número de infectados y T el número de días transcurridos; a, b y c son
constantes, cuyos valores lo determinan el ajuste diarios realizado.
En
particular, para el ajuste realizado el día 27/03/20, toman los siguientes
valores:
a = -0,12 ,
b = 9,89 y
c = 6,84.
Es decir,
N = -0,12 T2
+ 9,89 T + 6,84 .
El ajuste
polinomial realizado hasta el 27/03/20 se muestra en la figura de abajo, donde
Y representa el número de infectados y X el número de días.
A partir
del ajuste anterior, se puede inferir el número de infectado para los subsiguientes
días. Por ejemplo, para el día 16 (28/03/20) en número de infectado será de 120.
Como el día 15 (27/03/20) se reportaron 113 casos, por lo tanto, el número de
casos que se reportarán el día siguiente
(28/03/20), será de 7.
De esta
manera se puede estudiar el comportamiento global y diario de la pandemia y
realizar la proyección para días posteriores.
Ahora bien,
si se trata de realizar otro tipo de ajuste, por ejemplo el exponencial, nos
podemos dar cuenta que no reproduce, ni en primera aproximación, el
comportamiento de la pandemia. Por consiguiente podemos afirmar que hasta el
día de hoy (28/03/20), la pandemia en nuestro país no presenta el
comportamiento exponencial que, lamentablemente se observa en otros países,
como Ecuador y Colombia, en América del Sur.
Ahora bien,
por qué afirmamos en este análisis que la
tendencia es hacia la baja del número de infectado. Simplemente porque la pendiente
de la recta tangente en un punto (la derivada de N respecto al tiempo T), es
decir, la tasa interdiaria de infectados, disminuye de valor a medida que T se
incrementa.
Por otra
parte, a continuación se determina el número de días requeridos para que la
tasa diaria de infectados sea igual a cero. Para esto, se deriva N respecto al tiempo T y el
resultado se iguala a cero. El tal caso resulta,
TL = -0,5 b/a.
Considerando
los valores de a y b correspondiente al día 15, TL = 41 días; y en
consecuencia, podemos afirmar que, sí las condiciones se mantienen, la tasa interdiaria
de infectado será cero dentro 26 días, a partir del día de hoy 28/03/20. Esto es
lo que se interpreta como el aplanamiento de la curva.
Finalmente, la segunda derivada N” del polinomio resultante del ajuste es igual a 2 a. Es decir, N” = -0,24 infectados/d2, para el día en estudio. N” no es más que la rapidez diaria de cambio de la tasa N . Como es negativa en este caso particular, se interpreta que por cada día que transcurra , la tasa interdiaria de infectados disminuye en 0,24 infectados/día. Esto es equivalente a decir que, aproximadamente, por cuatro días que transcurran, la tasa de infección disminuye en una persona.
De manera que, queda demostrado mediante el análisis, que es verdadera la conjetura anterior que plantea que la tasa de infección está disminuyendo en esta primera etapa de infección, y se concluye entonces, que en 26 días la curva se aplana.
Por supuesto, siempre y cuando se mantengan las medidas de acato de la cuarentena en todo el país. De lo contrario pasaremos a la etapa de crecimiento exponencial, que lamentablemente, otros países la están experimentando.
Finalmente, la segunda derivada N” del polinomio resultante del ajuste es igual a 2 a. Es decir, N” = -0,24 infectados/d2, para el día en estudio. N” no es más que la rapidez diaria de cambio de la tasa N . Como es negativa en este caso particular, se interpreta que por cada día que transcurra , la tasa interdiaria de infectados disminuye en 0,24 infectados/día. Esto es equivalente a decir que, aproximadamente, por cuatro días que transcurran, la tasa de infección disminuye en una persona.
De manera que, queda demostrado mediante el análisis, que es verdadera la conjetura anterior que plantea que la tasa de infección está disminuyendo en esta primera etapa de infección, y se concluye entonces, que en 26 días la curva se aplana.
Por supuesto, siempre y cuando se mantengan las medidas de acato de la cuarentena en todo el país. De lo contrario pasaremos a la etapa de crecimiento exponencial, que lamentablemente, otros países la están experimentando.
Bibliografía
1. GeoGebra: https://www.geogebra.org/?lang=es
2. Coronavirus.app: Ver en: (https://coronavirus.app/mapselected=J3mZXlfEnnJx4CDZLvRG&query=venez)
3. Pablo Vinuesa,P. Regresión lineal simple y polinomial: teoría y práctic. v0.7, 22 de octubre, 2016. Recuperado de: https://www.ccg.unam.mx/~vinuesa/R4biosciences/docs/Tema9_regresion.html
