Vectores y sus Aplicaciones


Vectores y sus Aplicaciones


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Introducción

El presente material didáctico fue escrito para los participantes del curso Vectores y sus Aplicaciones de la XXI Escuela Venezolana de Enseñanza de la Matemática que tuvo lugar del 10 al 15 de septiembre de 2017 en los espacios académicos de la Facultad de Ciencia de la Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela. 



Aunque el curso se desarrolló sin la rigurosidad exigida por el pensum de cualquier licenciatura formal en matemática, sí se hizo hincapié en la utilización de herramientas de las Tics para facilitar el proceso de su enseñanza y aprendizaje. Se dejaron de lado las precisas y contundente demostraciones del curso tradicional de álgebra vectorial, por el diseño de estrategias digitales para la representación vectorial en el espacio euclidiano mediante applets elaborados con GeoGebra; software matemático de libre uso, escrito en Java para múltiples plataformas, el cual consiste de un procesador interactivo, que conjuga geometría, algebra y cálculo, y permite el trazado dinámico de construcciones geométricas, representaciones gráficas, tratamiento algebraico y cálculo de funciones reales, sus derivadas e integrales. En realidad, la discusión se orientó más hacia la didáctica de las matemáticas, que a los profundos temas del mundo vectorial, sin caer en la inútil e innecesaria simplicidad. Por supuesto, trató de suma y resta de vectores, y multiplicación escalar y vectorial de vectores, con algunos ejemplos de aplicaciones en física e ingeniería. Así que, se insistió en el diseño y uso de applets para una clase novedosa de vectores. Lo que permitió contrastar los resultados de la representación gráfica con los obtenidos con los algoritmos matemáticos.


Magnitudes física

Los cuerpos poseen propiedades particulares producto de las cualidades naturales que los caracterizan, establecidas en función de las interacciones entre sus componentes y el ambiente que les rodean. Tales interacciones entre los cuerpos y su ambiente establece vínculos que determinan el surgimiento y evolución de procesos naturales, objeto de estudio de la física. A los diferentes procesos que aparecen se le asocian variables o magnitudes físicas interrrelacionadas dentro del marco conceptual de cada teoría establecida, para dar respuestas a la múltiple fenomenología del mundo natural.  

La Física y la Ingeniería se fundamentan en estas magnitudes, las cuales se clasifican en escalares y vectoriales. Las primeras se caracterizan por estar especificadas sólo con un número y la unidad correspondiente, como la masa, la distancia, el tiempo y la temperatura, entre otras; las segundas, además de los requerimientos anteriores, necesitan que se les establezcan la dirección y el sentido en que apuntan, como el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, el campo (eléctrico, magnético), entre otras. Como, en general, las magnitudes vectoriales varían sus valores numéricos en el espacio, requieren de tres números para poder expresar su orientación. 


Vectores

Es por esto que, se recurre a los entes matemáticos denominados vectores, para su representación espacial; y al álgebra vectorial para su manipulación analítica más elemental. Los vectores no son más que segmentos de líneas orientadas, representadas en el espacio (uni, bi o tridimensional) de un sistema particular de coordenada. Tienen módulo y dirección. Por consiguiente, los vectores -representaciones analíticas de las magnitudes vectoriales-  se pueden sumar y restar, multiplicar por un escalar, o  multiplicarlos  con otros de diferentes especies, para definir nuevas magnitudes.

Un vector, como ente abstracto de la matemática se representa en un espacio euclidiano (de tres o menos dimensiones) por un segmento de línea recta orientado en un sistema de coordenadas prefijadas; como ente físico, representa el comportamiento de la cualidad de un hecho natural. Para la matemática basta definirlo en función de la posición espacial del segmento de recta en un sistema de coordenadas; mientras que para la física se define en función del valor numérico de la magnitud que representa (expresada en la correspondiente unidad de medida), la dirección que lo orienta y el sentido que le señala "el hacia dónde apunta". 


Así que un vector se define, en el plano, mediante un par de números escrito como par ordenado (x,y) o en forma de columna. Se denota al vector X = (x, y) (en negrita; también se puede denotar con una flecha sobre la X) como una dupla de números reales x  y y del par ordenado en el plano (o terna equivalente de tres números en el espacio). Su representación gráfica no es más que un segmento de recta orientado o "flecha" que se inicia en el origen del sistema de coordenadas y termina en el punto (x,y). En la figura de abajo se muestra su representación gráfica en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas rectangulares, tal como se vería en el applet correspondiente elaborado para tal fin. El vector empieza en un punto inicial P1 conocido como punto de aplicación y termina en el punto extremo o terminal P2, donde justamente se ubica la punta de flecha. En este caso particular, en aras de la simplicidad, el punto de aplicación se hizo coincidir con el origen del sistema de coordenadas rectangular xy elegido. Observe la otra notación matricial de una columna, usada para representar al vector X; ambas representaciones son equivalentes y las usaremos indistintamente en el presente trabajo.

El siguiente applet permite describir en forma gráfica lo arriba señalado; se puede activar desde la plataforma de GeoGebra pulsando sobre la figura o en la dirección URL indicada abajo. Consta de un deslizador x para variar su longitud; el vector se puede desplazar sobre el plano del sistema de coordenadas colocando el cursor sobre el círculo blanco de la punta de flecha y se arrastra luego hacia donde se quiera posicionar; en caso de que necesite colocar el punto de aplicación en otro distinto al origen, se coloca el cursor sobre el cuerpo del vector y se arrastra hasta dónde se requiera. A medida que el vector cambia de posición, varían sus coordenadas; dadas éstas por la posición de la punta de la flecha o punto terminal. El applet también posee una Entrada para posicionar el vector en uno de los cuatro cuadrantes del plano; para esto, basta introducir las respectivas coordenadas. Marcando en las casilla Módulo, Punto de aplicación, Punto terminal, Dirección, se puede visualizar los componentes del vector.




Actividades: 
1. Despliegue este applet desde la plataforma GeoGebra en una pestaña independiente de su navegador. Active, una por una, las casillas MóduloPunto de aplicaciónPunto terminalDirección, y describa con sus propias palabras el significado de cada elemento.  
2.  Desactive las casillas MóduloPunto de aplicaciónPunto terminalDirección. Sólo debe aparecer la flecha roja que representa gráficamente al vector. Observe como se representa analíticamente el vector en función de sus coordenadas como un par ordenado o como una columna matricial.
3. Coloque el cursor sobre el círculo blanco de la punta de flecha del vector para cambiar su módulo y dirección. Observe cómo cambian sus coordenadas a medida que lo mueve hacia el segundo o tercer cuadrante. ¿En qué cuadrante está ubicado el vector X(-3,2)?
4. También puede asignarle cualquier coordenadas al vector colocando sus valores en la casilla de entrada. Asígnele las coordenadas (-2,-1). ¿En qué cuadrante se ubica ahora?

El vector X representado por la flecha del applet de arriba serviría para interpretar procesos físicos que se suceden en el espacio y el tiempo, como la posición r (localización respecto al origen de un sistema de coordenadas), el desplazamiento d (cambio de posición) o la velocidad v (tasa instantánea del cambio de posición con el tiempo) de una partícula; en cada caso particular, el módulo - longitud del segmento de recta del vector- se indica con un número con su correspondiente unidad, y la dirección (y sentido) mediante el ángulo que forma la flecha con una dirección de referencia, como el eje x en un sistema de coordenada rectangulares.
En la figura de abajo se muestra en  forma gráfica, en el plano, lo antes indicado: arriba, de izquierda a derecha, la flecha amarilla representa la posición de una partícula, la verde se refiere a la fuerza sobre un automóvil y la roja tiene que ver con un campo eléctrico; abajo, la flecha roja representa al vector torque aplicado al tornillo mediante la llave, y la serie de flechas blancas, representa al campo magnético en diferentes puntos alrededor de la Tierra.










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