martes, 29 de noviembre de 2011

El yoyo


El yoyo
Su matemática

  
El yoyo o yoyó es uno de los juguetes de mayor popularidad a nivel mundial. Se cree que fue inventado en tiempos de la China milenaria. La figura de arriba, reporte de excavaciones arqueológicas, establece la evidencia de que hace 2.500 años también formó parte del entretenimiento del pueblo griego.

       Es interesante estudiar su física. Con él se puede enseñar la transformación de la energía potencial en cinética y viceversa, así como conceptos propios de cuerpos rígidos en movimientos: momento de inercia y torque, velocidad angular,  cantidad de movimiento angular, entre otros. Cuando el jugador lo coloca enrollado en su mano, le transfiere energía potencial gravitacional por la posición que tiene respecto al piso; cuando lo lanza mediante un impulso, cambia su cantidad de movimiento angular (momento angular), y adquiere energía cinética traslacional y rotacional. Esta energía, cedida con el impulso del jugador, más la que tiene producto de la posición hace que el yoyo  descienda rotando hasta el final de la cuerda. Si la cuerda no está fija al eje, al llegar a su extremo toda la energía inicial se convierte en energía cinética rotacional y si no fuera por la fricción del eje con la cuerda, rotaría indefinidamente en esa posición; pero, como la fricción disipa energía, el momento angular va disminuyendo progresivamente hasta que se detiene; al final, toda la energía se habrá convertido en calor. Sin embargo, éste no es el caso cuando con él se hacen malabarismos; así que, al llegar al final de su recorrido se le da un pequeño templón a la cuerda para que se incremente la fricción con el eje y la fuerza de roce que surge, aplica un torque que le hace enrollar la cuerda y ascender por ella hasta el extremo superior. A medida que se juega con el yoyo, la energía alterna entre potencial y cinética traslacional y rotacional. Por otra parte, cuando el yoyo gira mantiene la orientación espacial de su eje tal como un giróscopo y ésta no cambia a menos que intervenga un torque externo.

Cuando el yoyo se deja caer verticalmente, su cuerda se desenrolla y la energía potencial inicial se va transformando en cinética. Dos casos se pueden dar cuando se ha desenrollado por completo:

a)  La cuerda no está fuertemente atada al eje y desliza: queda girando y a medida que lo hace, la energía cinética rotacional se va transformando en calor. Si se le da un fuerte tirón hacia arriba a la cuerda, aumenta bruscamente la fricción con el eje,  deja de deslizar y aparece un torque por efecto de la fuerza de la fricción que lo hace girar y ascender.

 b) La cuerda está fija al eje y no desliza: se enrolla de nuevo en sentido inverso y asciende hasta cierta altura sin llegar al otro extremo; parte de la energía inicial se convierte en calor. En este caso cuando llega al final de su recorrido la energía traslacional es transferida a la cuerda y se acumula durante un instante de tiempo muy pequeño; esto sucede porque la cuerda tiene propiedades elásticas y se estira un poco. Luego, la energía es reintegrada de nuevo al yoyo para que ascienda.


El yoyo descrito en el presente modelo simplificado, está constituido de dos discos macizos de masa M cada uno y radios R, montados en un eje cilíndrico de radio r  y masa m , al cual se le ata sin ajustar, el extremo de una cuerda de longitud L. La posición donde el yoyo está completamente desenrollado, se toma como referencia (y = 0); en esa posición la altura h vale cero y no tiene energía potencial; cuando está completamente enrollado, en la posición  y = h, tiene energía potencial gravitacional.

La cuerda se enrolla alrededor del eje y se suelta manteniendo fijo su extremo libre; a medida que cae, la energía potencial gravitacional  

se va convirtiendo en energía cinética traslacional  


 y energía cinética rotacional


donde  v  es la velocidad del centro de masa,  w la velocidad angular  e  Icm el momento de inercia total respecto al centro de masa dado por:


El primer término de esta última ecuación toma en cuenta la inercia rotacional de los dos discos y el segundo, la del eje. Note que la longitud del eje y los espesores de los discos no intervienen.

Por el principio de conservación de la energía, toda la energía potencial inicial  (en y = h) se convierte en energía cinética traslacional y rotacional cuando la cuerda se ha desenrollado por completo (en y = 0). De modo que:


Con la ecuación wf = Vf /r se obtiene la velocidad final del centro de masa del yoyo cuando ha recorrido la distancia  L:


De la cinemática elemental sabemos que la velocidad del yoyo, cuando cae libremente como cualquier objeto, es 

.

Por consiguiente, como el denominador de la ecuación anterior es mayor que uno, se concluye que el yoyo cae con una velocidad , inferior a la que tendría si cae libremente desde la altura L; es decir, el yoyo cae lentamente a medida que se desenrolla.

A partir de la ecuación anterior se pueden hacer las siguientes consideraciones:

1) La masa del eje es pequeña comparada con la masa de los dos discos. En consecuencia    


                  Es decir, la velocidad es independiente de la masa del yoyo.

       2) Puesto que,


            la aceleración viene dada por:


          La gráfica de la aceleración en función del radio del eje se muestra a continuación para un yoyo de 7 cm de diámetro. Se puede apreciar que a medida que se incrementa el radio del eje, el yoyo aumenta su aceleración. Por consiguiente, si el radio del eje es bastante pequeño comparado con los radios de los discos, la aceleración (el cambio temporal de la velocidad), será mucho menor que la aceleración de la gravedad. En el caso límite de  r = R, la aceleración es ; este es el caso de un disco con la cuerda enrollada por su borde.


3) El radio del eje es igual al radio de los discos (r = R). En consecuencia:



Por lo tanto, el yoyo llega al final de la cuerda con una velocidad que es el 82% de la velocidad en caída libre.

4) Como  

  y  

el tiempo de caída del yoyo es:


        En la siguiente figura se muestra cómo depende el tiempo de caída de la altura cuando el yoyo se desenrolla (rojo) y cuando cae libremente (azul). Se puede concluir que cuando la cuerda se ha desenrollado por completo (0,5 m), el yoyo ha tardado 0,9 s en caer. Mientras que en caída libre el tiempo que tarda es de 0,3 s; es decir, cae tres veces más rápido.


        Mediante el estudio de la dinámica involucrada en el yoyo se pueden obtener también las ecuaciones anteriores. Se deja al lector emprender este interesante  trabajo.


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Crédito del dibujo griego:


Malabares con yoyos:







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