lunes, 31 de octubre de 2011

El trompo loco



El trompo loco


Este singular artilugio mecánico consiste de una pequeña esfera homogénea rebanada, en cuyo espacio se le ha horadado un casquete esférico de menor radio; de esa concavidad sobresale un vástago cilíndrico, corto y delgado, orientado diametralmente respecto a la esfera. En el caso de una esfera, su centro de masa coincide con su centro geométrico; al quitarle simétricamente masa alrededor del eje, su centro de masa se corre respecto al centro geométrico. Así que, el dispositivo que aquí se describe, mantiene su centro de masa localizado sobre el eje del cilindro (eje de simetría), pero desplazado del centro geométrico de la esfera completa.

Desde hace tiempo, varios físicos famosos como  Sir William Thomson y Niels Bohr, se interesaron en resolver este problema. En la década del 50 del siglo XX, se lograron las primeras soluciones aproximadas gracias a los aportes de Braams, Hugenholtz y Pliskin, según reporta Cohen (1977).

            En este artículo sólo se realizará una descripción cualitativa de este juguete, dado la complejidad del problema para el nivel de secundaria. Sin embargo, en vista de lo sorprendente del comportamiento, creemos que se deben diseñar estrategias pedagógicas que logren motivar la observación de su movimiento en los estudiantes.


El movimiento del trompo loco se inicia con el vástago en posición vertical hacia arriba; a medida que gira se va acostando hasta hacer contacto instantáneo con el piso, sobre el cual se apoya y, gracias al roce, se produce la inversión espacial, es decir, “se para de cabeza”. Una marca sobre la esfera del trompo, tal como la flecha verde dibujada, permite observar como cambia el sentido de rotación. Con la inversión, el centro de masa del trompo loco cambia de posición, se eleva respecto al piso. Con base en la figura se concluye que el centro de masa se eleva la altura dada por (R+a+b) – (R-a) = 2a+b; donde R es el radio de la esfera, a es la separación entre el centro geométrico y el centro de masa y, b es la longitud que sobresale el vástago de la superficie de la esfera.

Una mirada acuciosa al proceso completo de su movimiento, desde el lanzamiento con la mano hasta su detención, da cuenta de una notoria disminución de su velocidad rotacional justo después de la inversión posicional. Cuando se da la inversión, disminuye la velocidad angular y la energía cinética rotacional; como la energía se conserva, una pequeñísima parte se convierte en calor por la fricción con el piso y otra parte se convierte en energía potencial; finalmente, el trompo ha redistribuido su energía cinética rotacional inicial en energía rotacional más potencial y en consecuencia, su velocidad angular disminuye. Mejor dicho: si ωi es la velocidad angular inicial, entonces su energía cinética rotacional es ERi = ½ I ωi2; cuando se invierte, la energía cinética final es ERf = ½ I ωf2. Considerando que la disipación en calor, por el roce de la punta con el piso y de la superficie con el aire,  es muy pequeña, y que el trompo loco de masa M no se desplaza por el piso, mediante la ley de conservación de la energía se tiene que: ½ I ωf2 + Mg(2a+b) = I ωi2. En consecuencia,  ωf < ωi ; es decir, la  velocidad angular del trompo disminuye cuando se invierte, al igual que su energía cinética rotacional.


Por otra parte, a fin de explicar brevemente cómo se produce la inversión, es  necesario realizar las siguientes consideraciones dinámicas. En la figura anterior se aprecia el torque τr alrededor del centro de masa cm, generado por la fuerza de roce fr (perpendicular a la hoja y orientado hacia el lector), que surge en la superficie de contacto del trompo con el piso; al igual que, las componentes de τr en dirección del eje de simetría y perpendicular al mismo. En este caso, L se encuentra orientado en dirección vertical como se muestra, a diferencia del trompo tradicional que se orienta según su eje de simetría. Así mismo, el momento angular L se puede descomponer en estas dos direcciones. Cuando el trompo inicia su movimiento con el vástago perpendicular, la componente L// = L  y  L = 0 .

Debido a un proceso de inestabilidad el trompo se inclina un poquito y se generan frτr , como se muestra en la figura. La componente paralela del torque tiende a disminuir la componente paralela del momento angular, ya que tienen sentidos contrarios; y la componente perpendicular del torque tiende a aumentar la componente perpendicular del  momento angular, gracias a que tienen el mismo sentido. Como la magnitud del momento angular L debe permanecer constante, si L// diminuye y L aumenta, entonces el ángulo de inclinación de L se debe incrementar desde cero, cuando el trompo está completamente vertical. En consecuencia, a medida que el trompo rota, se va inclinando hasta que el vastago hace contacto con el piso. En ese instante surge una fuerza de roce que se opone al movimiento y un nuevo torque, como se muestra en la figura inferior; en esta segunda etapa del movimiento ocurre lo contraio: L// comienza a crecer, mientras L disminuye. El trompo se va levantando hasta que baila en posición vertical con el vástago hacia abajo, en cuyo caso se cumple que L// L. “Patas arriba” baila con más lentitud;  continuará así hasta que la fricción reduzca su energía cinética, pierda el equilibrio, caiga y se detenga.


   Bibliografía recomendada:

1.      Bou-Rabee, N. J. , Marsden, J., E y Romero, L., A. 2008. Dissipation-Induced Heteroclinic Orbits in Tippe Tops, Vol. 50, No. 2, pp. 325–344, Society for Industrial and Applied Mathematics
2.      Cohen R., 1977. The tippe top revisited.   Am. J. Phys. Vol. 45, No. 1
3.      Güémez, J. 2007. Física de juguetes y dispositivos sencillos. Peonzas invertibles. Disponible en: http://www.loreto.unican.es/Carpeta2007/00TorreonCartes2007/M24TippeTop.pdf

                       Video recomendado:




2 comentarios:

  1. ¡Gracias por compartir este conocimiento! Tengo este trompo que me parece maravilloso, y ahora intentaré comprender las generosas explicaciones. Un abrazo desde Argentina.

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