El trompo loco
Desde
hace tiempo, varios físicos famosos como Sir William Thomson y Niels Bohr, se
interesaron en resolver este problema. En la década del 50 del siglo XX, se
lograron las primeras soluciones aproximadas gracias a los aportes de Braams,
Hugenholtz y Pliskin, según reporta Cohen (1977).
En este artículo sólo se realizará una descripción
cualitativa de este juguete, dado la complejidad del problema para el nivel de
secundaria. Sin embargo, en vista de lo sorprendente del comportamiento,
creemos que se deben diseñar estrategias pedagógicas que logren motivar la
observación de su movimiento en los estudiantes.
El
movimiento del trompo loco se inicia con el vástago en posición vertical hacia
arriba; a medida que gira se va acostando hasta hacer contacto instantáneo con
el piso, sobre el cual se apoya y, gracias al roce, se produce la inversión
espacial, es decir, “se para de cabeza”. Una marca sobre la esfera del trompo, tal como la flecha verde dibujada, permite observar como cambia el sentido de rotación. Con la inversión, el centro de masa del trompo loco cambia de posición, se
eleva respecto al piso. Con base en la figura se concluye que el centro de masa
se eleva la altura dada por (R+a+b) – (R-a) = 2a+b; donde R es el radio de la
esfera, a es la separación entre el centro geométrico y el centro de masa y, b
es la longitud que sobresale el vástago de la superficie de la esfera.
Una
mirada acuciosa al proceso completo de su movimiento, desde el lanzamiento con
la mano hasta su detención, da cuenta de una notoria disminución de su
velocidad rotacional justo después de la inversión posicional. Cuando se da la
inversión, disminuye la velocidad angular y la energía cinética rotacional;
como la energía se conserva, una pequeñísima parte se convierte en calor por la
fricción con el piso y otra parte se convierte en energía potencial;
finalmente, el trompo ha redistribuido su energía cinética rotacional inicial en
energía rotacional más potencial y en consecuencia, su velocidad angular
disminuye. Mejor dicho: si ωi es la
velocidad angular inicial, entonces su energía cinética rotacional es ERi
= ½ I ωi2; cuando se invierte, la energía cinética final
es ERf = ½ I ωf2. Considerando que la
disipación en calor, por el roce de la punta con el piso y de la superficie con
el aire, es muy pequeña, y que el trompo
loco de masa M no se desplaza por el piso, mediante la ley de conservación de
la energía se tiene que: ½ I ωf2 + Mg(2a+b) = I ωi2.
En consecuencia, ωf <
ωi ; es decir, la
velocidad angular del trompo disminuye cuando se invierte, al igual que
su energía cinética rotacional.
Por
otra parte, a fin de explicar brevemente cómo se produce la inversión, es necesario realizar las siguientes
consideraciones dinámicas. En la figura anterior se aprecia el torque
τr alrededor del centro de masa cm, generado por la fuerza de roce fr (perpendicular a la hoja y orientado hacia el lector), que
surge en la superficie de contacto del trompo con el piso; al igual que, las
componentes de τr en dirección del eje de simetría
y perpendicular al mismo. En este caso, L se encuentra orientado en
dirección vertical como se muestra, a diferencia del trompo tradicional que se
orienta según su eje de simetría. Así mismo, el momento angular L se puede descomponer en estas dos
direcciones. Cuando el trompo inicia su movimiento con el vástago
perpendicular, la componente L// = L y L ┴ = 0 .
Debido a un proceso de
inestabilidad el trompo se inclina un poquito y se generan fr y τr , como se muestra en la figura. La componente paralela del torque
tiende a disminuir la componente paralela del momento angular, ya que tienen
sentidos contrarios; y la componente perpendicular del torque tiende a aumentar
la componente perpendicular del momento
angular, gracias a que tienen el mismo sentido. Como la magnitud del momento
angular L debe permanecer constante, si L// diminuye y L ┴ aumenta, entonces el ángulo de inclinación de L se debe
incrementar desde cero, cuando el trompo está completamente vertical. En
consecuencia, a medida que el trompo rota, se va inclinando hasta que el
vastago hace contacto con el piso. En ese instante surge una fuerza de roce que
se opone al movimiento y un nuevo torque, como se muestra en la figura inferior;
en esta segunda etapa del movimiento ocurre lo contraio: L// comienza a crecer, mientras L ┴ disminuye. El trompo se va
levantando hasta que baila en posición vertical con el vástago hacia abajo, en
cuyo caso se cumple que L//
= L. “Patas arriba” baila con más lentitud;
continuará así hasta que la fricción reduzca su energía cinética, pierda
el equilibrio, caiga y se detenga.
Bibliografía recomendada:
1.
Bou-Rabee,
N. J. , Marsden, J., E y Romero,
L., A. 2008. Dissipation-Induced Heteroclinic Orbits in Tippe Tops,
Vol. 50, No. 2, pp. 325–344, Society
for Industrial and Applied Mathematics
2.
Cohen R., 1977. The tippe
top revisited. Am. J. Phys. Vol.
45, No. 1
3. Güémez, J. 2007. Física de juguetes y dispositivos
sencillos. Peonzas invertibles. Disponible en: http://www.loreto.unican.es/Carpeta2007/00TorreonCartes2007/M24TippeTop.pdf
Video recomendado:
¡Gracias por compartir este conocimiento! Tengo este trompo que me parece maravilloso, y ahora intentaré comprender las generosas explicaciones. Un abrazo desde Argentina.
ResponderBorrarExcelente trabajo
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