jueves, 26 de abril de 2012

El Cuatro Venezolano (3/3)



La matemática del Cuatro (3/3)

Como es bien conocido, la distancia de separación entre dos trastes consecutivos disminuye desde el clavijero hacia el orificio de la caja de resonancia; el primer par de trastes del extremo superior del diapasón está más separado y el último par de su extremo interior, está más pegado.

      Los luthieres tienen la habilidad y el conocimiento artesanal para colocar los trastes sobre el diapasón del Cuatro criollo que fabrican con admirable precisión; los físicos manejan modelos matemáticos sencillos para establecer la posición de cada traste. Para un estudio completo de las vibraciones de las cuerdas tendríamos que partir de las leyes de Newton, aplicarlas a un caso particular como la cuerda en vibración y formular la ecuación de ondas con su respectiva solución; extremos fijos, son las denominadas condiciones de frontera para la cuerda, en este caso. A partir de aquí se deduce que la relación entre la frecuencia de vibración de la cuerda, su tensión T y su masa por unidad de longitud μ, es la obtenida en la primera parte de La física del Cuatro (para ahondar en el tema se sugiere revisar Física Interdisciplinaria: Las Ondas en este Blog). Cuando la cuerda al aire (sin ser pisada) está afinada a la nota musical que le corresponde, mantiene constante su tensión y masa; a medida que se pisan los trastes, se disminuye su longitud. Luego podemos afirmar para la cuerda libre, que

 


donde c es una constante que depende de la tensión y la masa. La misma cuerda pisada en el primer traste tiene la longitud L1 y vibra con la frecuencia f1 = c/L1  cuando se pulsa; pisada en el segundo traste tiene la longitud L2 y vibra con la frecuencia f2 = c/L2, y así sucesivamente hasta el último traste.

En consecuencia, al relacionar entre sí las longitudes L1 y L0, se obtiene que
y como,


(ver La Escala Musical y su Origen en este Blog), luego


Es decir, la cuerda pisada en el primer traste tiene una longitud que es 0,9439 veces la longitud Lde la cuerda al aire. En consecuencia, la cuerda  disminuyó su longitud en


En el caso de un Cuatro típico de 14 trastes, las cuerdas tienen una longitud de 559 mm; así que, la longitud L1de la cuerda es de 527,6 mm y ΔL01 = 31,4 mm.  Este último valor es la separación entre la cejuela y el primer traste.

     Al repetir el procedimiento anterior, se encuentra que la cuerda pisada en el segundo traste tiene una longitud de

y la separación  entre el primero y segundo traste es


Al pisar el segundo traste la cuerda tiene una longitud de 498 mm y la separación entre el primer y segundo traste es ΔL12 = 29,6 mm.

En general, la longitud de la cuerda para el n-ésimo traste, medida desde el puente, es

  y la separación entre cualquier par de trastes consecutivos es



 donde n = 0,1,2,3,.. De esta ecuación se puede ver que la separación entre los trastes es una función exponencial, y en consecuencia su separación varia a lo largo del diapasón; si la dependencia fuera lineal, la separación sería constante, pero este no es el caso.

          A continuación se calcula la frecuencia de la nota musical emitida por la cuerda La3 (A3) cuando se pulsa, haciendo presión en cada uno de los trastes. La cuerda al aire (libre), emite la nota  La3 cuando está afinado. La frecuencia de esta nota es 220 Hz (vibraciones por segundo). Al pisarla en el primer traste, su longitud disminuye y en consecuencia la frecuencia aumenta en un factor de 21/12 = 1,0595; por consiguiente, la frecuencia es 220 x 1,0595 Hz = 233,08 Hz, valor que coincide con la nota La3#; si 233,08 se vuelve a multiplicar por 21/12 se obtiene 246,94 Hz, frecuencia de la nota Si3. Repitiendo este procedimiento se logra identificar la secuencia de notas para todos los trastes, como se muestra en la siguiente tabla. También se puede apreciar en la misma, la identificación de las notas correspondiente a cada traste para las demás cuerdas.

                               Tabla: Notas de las cuerdas 



TRASTE

LONGITUD
(mm)
Primera cuerda

Segunda cuerda

Tercera cuerda

Cuarta
cuerda
f (Hz)
Nota
0
559,0
220,00
La3
Re4
Fa#4
Si3
1
527,6
233,08
La#3
Mi4
Sol4
Do4
2
498,0
246,94
Si3
Fa4
Sol#4
Do#4
3
470,1
261,63
Do4
Fa#4
La4
Re4
4
433,7
277,16
Do#4
Sol4
La#4
Re#4
5
418,8
293,66
Re4
Sol#4
Si4
Mi4
6
395,3
311,13
Re#4
La4
Do5
Fa4
7
373,1
329,63
Mi4
La#4
Do#5
Fa#4
8
352,1
346,23
Fa4
Si4
Re5
Sol4
9
332,4
369,99
Fa#4
Do5
Re#5
Sol#4
10
313,7
392,00
Sol4
Do#5
Mi5
La4
11
296,1
415,30
Sol#4
Re5
Fa5
La#4
12
279,5
440,00
La4
Re#5
Fa#5
Si4
13
263,8
466,16
La#4
Mi5
Sol5
Do5
14
249,0
493,88
Si4
Fa5
Sol#5
Do#5


En la figura de abajo se identifica la nota musical producida por la primera cuerda (La3) cuando se pulsa en cada traste. Las de color amarillo son los sostenidos correspondientes a cada nota.





Actividades:


1.     Mida la longitud de las cuerdas de un Cuatro criollo de buena calidad y las posiciones de los trastes a partir del puente. Luego, calcule con la ecuación anterior las posiciones de los trastes; compare con las medidas. Represente  en una tira de papel milimetrado los trastes y observe si coincide con las posiciones del Cuatro usado.

2.     En la Web se puede obtener varios software para afinar instrumentos. Uno de estos es Pitch Perfect Musical Instrument Tuner, de fácil manipulación. Con este paquete se puede afinar el Cuatro; hágalo. Luego pulse la primera cuerda y compruebe que su sonido corresponde  a la nota La3. Elija cualquier traste, presiónelo y pulse la cuerda. Mida con el software anterior su frecuencia e identifique la nota emitida; compruebe que, dentro del error experimental, coincide con el valor correspondiente de la tabla. Repita lo anterior con las otras cuerdas.
           
Para consultar:

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