Flotación de cuerpo sumergido
en solución salina
Su matemática
En esta sección vamos a explorar el poder de la matemática como herramienta de análisis en situaciones cotidianas del diario acontecer, científicas y tecnológicas. En tal sentido, elaboraremos un “modelo teórico” a fin de simular el comportamiento de un objeto sumergido en un líquido, y sometido a ciertas condiciones que de antemano conocemos. En función del cual podremos hacer predicciones sobre el comportamiento del cuerpo sumergido, bajo la acción de nuevos efectos que se le agreguen al entorno líquido que le rodea.
Nuestro objeto de estudio es un cuerpo de peso, p = mg = D Vc g, donde D es la densidad del material y Vc su volumen. El cuerpo se encuentra sumergido en una solución caracterizada por la concentración C y densidad Ds .
Para iniciar el análisis es necesario tener presente lo siguiente. La concentración porcentual peso-peso se define de la siguiente manera:
Donde m1 y m2 son la masa del soluto y el solvente, respectivamente; de modo que C será igual a:
Al despejar de esta ecuación m1 en función de m2 se obtiene que,
Por otra parte, la densidad de la solución es:
donde m1 + m2 es la masa total del soluto más el solvente y V el volumen de la solución, igual al volumen del solvente.
Al sustituir m1 en la ecuación de Ds se tiene
Como la densidad del solvente puro Dp = m2/V, al despejar se tiene que m2 = DpV y al sustituir en Ds la expresión se reduce a:
Es decir, esta ecuación permite calcular la densidad de la solución en función de la concentración C y la densidad del solvente puro Dp.
Ahora bien, a continuación es necesario hacer una comparación para determinar si el objeto flota o se hunde en la solución. Existen dos fuerzas que actúan sobre él: su propio peso hacia abajo, producto de la atracción gravitacional de la Tierra y que produce el efecto de hundimiento; y el empuje, producido por la solución y que produce el efecto de flotación.
Como el peso del cuerpo es p = mg = D Vc g, donde D es la densidad del cuerpo y Vc su volumen; el empuje será E = Ds g Vc .
Al tomar el cociente E/p se tiene que,
En este caso particular, ¿Cuál debería ser la concentración de la solución para que levite?
Si, E = p, entonces se debe cumplir que:
y en consecuencia, la concentración crítica C0 debería ser,
En base a lo anterior ahora podemos formular la siguiente pregunta: ¿qué pasaría con un huevo de gallina si se suelta en una solución de agua con sal cuya concentración peso-peso es del 17% P/P?¿Flota o se hunde? Consideremos que el huevo tiene una densidad promedio de 1,1 g/cm3. La solubilidad de la sal, es decir la máxima cantidad de cloruro de sodio (sal común) que puede disolverse totalmente en agua es de 26 g por 100 g de agua a 20 oC.
En el caso de una solución de agua con sal, al sustituir los valores, se obtiene que la densidad de la solución es de Ds = 1,2 Dp. Como la densidad del agua pura es 1,0 g/cm3, finalmente la densidad de la solución de sal será de 1,2 g/cm3.
De acuerdo a este análisis, como la densidad de la solución es 1,2 g/cm3 y la del huevo es 1,1 g/cm3 el huevo flotaría en una solución 17% P/P. Por otra parte, la concentración para que levite es 9,1% P/P. Este es el valor crítico de la concentración para que el huevo flote en cualquier posición dentro de la solución; en soluciones con concentraciones de sal por debajo de este valor el huevo se hunde y en soluciones con valores superiores a este valor, flota.
En la gráfica 13 se muestra las fuerzas que actúan sobre el huevo: el peso y el empuje E en función de la concentración C del agua salada (NaCl). Se puede observar, que la intersección entre el peso p (la recta) y el empuje E (la curva) es el punto crítico donde el huevo permanece levitando en equilibrio, que coincide con el valor calculado de 0,091. Para concentraciones por debajo de este valor, el huevo se hunde: para valores por encima, el huevo flota.
Por otra parte, como la solubilidad, es decir la máxima cantidad de cloruro de sodio (sal común) que puede disolverse totalmente en agua es de 26 g por 100 g de agua a 20 oC, es decir 26 % P/P, y la solubilidad crítica está por debajo de este valor, con una solución diluida de sal, es suficiente para que se de la flotación sin necesidad de preparar una solución sobresaturada, es decir, cuando no se puede disolver más soluto a esa temperatura y éste precipita al fondo del envase.
A continuación se proponen las siguientes actividades:
a) Medir la masa de un huevo de gallina con una balanza. Medir su volumen por cualquier método. Determinar su densidad.
b) Repetir todo lo anterior con azúcar.
c) Elegir dos piedras, una mediana como una cebolla y otra pequeña como la cabeza de un alfiler y se sumergen en un vaso de agua. Intentar que floten agregando sal o azúcar. ¿Qué se puede concluir?
d) Elegir dos trozos de yesca de diferentes tamaños y se sueltan en el agua. Intentar hundirla agregando sal o azúcar. ¿Qué puedes concluir?
e) Pesar una piedra grande como de dos kilogramo peso en un “peso de bodega” en el aire. Pesarla después sumergida en agua. Determina su empuje por la diferencia de pesos. Mide su volumen y determina el empuje con la ecuación E = D g V. Comparar los valores obtenidos con los dos métodos.
