sábado, 29 de septiembre de 2018

Paradoja de la copa de martini

LA PARADOJA 
DE LA 
COPA DE MARTINI


Figura 1. Copa de coctel para servir el martini.

La copa para servir el Martini tiene forma cónica. Si se llena hasta el nivel que muestra la figura 1, da la impresión de que tal volumen de líquido no fuera exactamente la mitad de su capacidad, sino mucho mas. He ahí la paradoja. En el siguiente video se aprecia lo anterior.


     

Video 1. Paradoja de las copas. 


Figura 2. Dibujo de la copa en un plano paralelo al eje, con los respectivos parámetros para la elaboración del modelo.  Tomado de Naukas.



Figura 3. Dibujo de la copa con otros parámetros adicionales para abordar 
la elaboración del modelo.


La presente paradoja se describe en la página web Naukas. En la misma se hace una presentación detallada de la paradoja. Por su parte, también Retos de Matemática, Física, Química y otras Ciencias retoma el problema de la copa y lo presenta como uno de sus desafios con el siguiente enunciado:

"¿Hasta qué altura x tendré que llenar esta copa para que dentro haya justamente la mitad del volumen total?

De esta última lectura surgió nuestra motivación para presentar la solución de este problema desde otra perspectiva. 

Solución: Supongamos que la copa es cónica, tiene las dimensiones que se indican en la figura y que su fondo es plano. Esto significa que el interior de la copa tiene un volumen que se corresponde con el volumen de un cono truncado. Sea v el pequeño volumen de vidrio del vértice de la copa en su parte inferior. Sea V el volumen que tendría la copa, si fuera un cono perfecto; como no lo es, cuando está vacía su volumen es V-v. De igual forma, V* sería el volumen de vino si la copa fuera un cono perfecto; en consecuencia el volumen de vino es V*- v . De acuerdo al enunciado, entonces V - v = 2 (V*- v). Como el volumen de los conos anteriores son V = π r2 H/3, V* = π r*2 x/3  y  v =  π b2 a/3, donde a es la altura del cono ubicado en el vértice y b el radio de su base, se tiene que

π r2 (H+a)/3 – v = 2 π  (x+a)2 tg2α (x+a)/3 - 2 v,

donde tg α = b/a= r/(H+a) y a = r/tg α – H.

Al despejar x de la ecuación se obtiene que

x = {(r2 (H+a) – v)/2tg2α }1/3 – a.

Simplificando un poco, se tiene finalmente que:

x = {(H+a)3/2 – π a3/6}1/3 – a.

En esta ecuación no aparece r, lo que significa que la profundidad x del agua es independiente de la abertura de la boca de la copa expresada mediante su radio.

El caso particular tratado por Naukas* se obtiene cuando a « H. Por consiguiente  
x ≈ H/21/3.

En la figura 4 se muestra la representación gráfica de la ecuación anterior y la simulación del nivel del liquido en la copa cuando se cumple la relación establecida entre los volúmenes. La misma fue realizada con un applet de Geogebra.



Figura 4. Representación gráfica de la profundidad x del martini en función de la profundidad H de la copa cónica para b = 0 ( recta azul) y la copa de fondo plano para b > 0 (curva roja); x y H se miden en unidades arbitrarias. Ver en: https://www.geogebra.org/m/uyku5deb

Se discuten dos casos: 

1) Copa cónica con fondo puntiagudo (b = 0). La recta azul describe en este caso límite, cómo se comporta la profundidad x del líquido en función del tamaño H de la copa.  Observe que el nivel del líquido en la copa ocurre para x = 0.8 H, cuando la profundidad de la copa es de 1. Para otra copa mas pequeña cuyo valor sea H = 0,60,  por ejemplo, entonces x = 0,48, como se puede constatar con la recta azul. A la derecha se muestra en una representación gráfica de la copa, el nivel del líquido mediante el segmento de recta azul que se acciona con el deslizador x, ubicado arriba a la derecha del applet. Observe que si H = 1, entonces x = 0,8 H.

2) Copa cónica con fondo plano (b > 0). La curva roja considera la dependencia de x con H. Para un valor pequeño de b comparado con H, la curva tiende a la forma linear y se comporta según el trozo de recta de la parte superior; a medida que b es comparable a H, la descripción de x(H) depende de la parte inferior de la curva. Los valores negativos de x no tienen significado físico.    

Observe también que en la representación gráfica de la derecha, el área que representa al líquido es mayor que el área vacía de la copa. Dejamos al lector acucioso demostrar que el área del líquido es 1/22/3 (0,62) veces mayor que el área vacía. En consecuencia, la impresión que la imagen de la copa produce en la retina es que el volumen de la parte inferior (con martini) es mayor que el volumen de la parte superior (sin martini). Este hecho explica la jugada de nuestro sentido común.  
  

Referencias

1. Miguel Artime M. et al. (2015). Naukas: Recuperado de: https://naukas.com/2014/03/24/la-paradoja-de-la-copa-de-martini/

2. Gonzàles R., May. (2018). Retos de Matemática, Física, Química y otras Ciencias. Recuperado de: https://www.facebook.com/groups/794248687378973/