Suma de Vectores

Adición o Suma de Vectores

Disponible en: https://www.geogebra.org/m/hqpSQ6Ns

Dado que los vectores son entes matemáticos con módulo (magnitud), dirección y sentido, no siguen la regla tradicional de la suma escalar. La suma de dos vectores da otro vector. En forma gráfica se pueden sumar mediante el método del paralelogramo, por ejemplo; otra, es mediante el método analítico de la descomposición en sus componentes en el plano o el espacio. El applet de arriba describe éste último método en el plano con coordenadas rectangulares.

Su interés en estudiarlo radica en que muchas magnitudes físicas tienen naturaleza vectorial como la fuerza, la aceleración y la velocidad en mecánica; el campo eléctrico y magnético en electromagnetismo, entre muchas otras más.

Este applet permite, en primer lugar, describir las características de los vector U y V mediante sus módulos U=a o V=b, las direcciones y sentidos α o β. A ambos vectores se le pueden asignar sus respectivos módulos y ángulos que forman con el semieje +x con los deslizadores a, kα, b  y  kβ. Los ángulos se miden en radianes en los deslizadores y se expresan en grados sexagesimales en la representación gráfica. Con las casillas U y V se pueden desplegar los  vectores, por separado o en conjunto, con sus respectivas componentes en los ejes x y y. Al accionar la casilla W se obtiene la suma resultante de los dos vectores  U y V . También se calcula el módulo o magnitud W del vector W y la dirección que forma con el eje x mediante el ángulo γ.  El botón (flechas cruzadas) ubicado a   la derecha del cintillo superior de controles contiene el zoom de aumento o disminución del tamaño de la gráfica. Con este se pueden reducir los tamaños de la figura en caso de que salga del recuadro.

Actividades:

1. Desactive todas las casillas U, V y W. Luego, sólo active la casilla del vector U. Elija una  magnitud de U = 8 unidades, por ejemplo, y un ángulo cero haciendo kα = 0. El vector U aparece sobre el eje +x, por supuesto. A continuación coloque el cursor del ratón sobre el deslizador kα  y aumente su valor. Observará que el vector rota 360 grados en sentido antihorario, o hasta el valor que haya elegido. Observe también cómo cambian las componentes Ux y Uy a medida que el vector rota. Ahora bien, coloque el vector en el primer cuadrante. Calcule con las ecuaciones que usted conoce, sus componentes y compare con los valores del applet. Repita para otros cuadrantes.

2. Suma de vectores. Despliegue simultáneamente con sus respectivas casillas los dos vectores U y V. Pulse luego en la casilla W para desplegar el vector resultante. Cambie los valores de los módulos y los ángulos de los vectores U y V y observe cómo cambia el vector W. 

Desactive la casilla W. Coloque U y V en el primer cuadrante. Tome nota de las componentes de cada vector y mediante las sumas algebraicas de la componentes, prediga dónde estará ubicada la punta de flecha del vector resultante W. Active W y observe sí sus predicciones se corresponden con lo presentado por el applet. Repita con los demás cuadrantes.

MRUA

Movimiento Rectilíneo 
Uniformemente Acelerado

Disponible en: https://www.geogebra.org/m/ZPVjGHEj

El applet de arriba permite experimentar con un móvil que se desplaza en línea recta con movimiento uniformemente acelerado (MUA). Se dispone de un cronómetro y una cinta métrica con doble escala en centímetros y pulgadas. Los botones de Inicio, Pausa y Reinicio permiten el control de las medidas con facilidad. Con el botón reinicio el móvil se posiciona  en d = 0 cm y  t = 0 s para los valores de la rapidez inicial vo y aceleración constante a, elegidos con los respectivos deslizadores. Con Inicio comienza a moverse y con Pausa se puede detener.

Actividades:

1. Desactive las casillas de control de instrumentos y gráficas. Use los tres botones hasta adquirir cierta soltura con su uso. Observe cómo el móvil cambia su rapidez a medida que se desplaza.

2. Active el botón Inicio y detenga el móvil aproximadamente en 4,0 cm,  por ejemplo, y tome nota del tiempo transcurrido. Con las ecuaciones conocidas de la cinemática, calcule el desplazamiento y la rapidez. Compare con los valores indicados en cada gráfica. 

3. Grafique d versus t y v versus t. Active la casilla Gráficas y compare  con las gráficas que usted ha elaborado.

MRU

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Disponible en: https://www.geogebra.org/m/NvGzphup

El applet de arriba permite experimentar con el movimiento de un móvil que se desplaza en línea recta con rapidez constante. Se dispone de un cronómetro y una cinta métrica con doble escala en centímetros y pulgadas. Los botones de Inicio, Pausa y Reinicio permiten el control de las medidas con facilidad. Con el botón Reinicio el móvil se posiciona en d = 0 cm y t = 0 s para cierta rapidez constante elegida con el deslizador v. Con Inicio comienza a moverse y con Pausa se puede detener.

Actividades:

1. Desactive las casillas de control de instrumentos y gráficas. Use los tres botones hasta adquirir cierta soltura con su uso.
2. Active el botón Inicio y detenga el móvil en 2, 4, 6 cm,... Tome nota de los tiempos respectivos. Calcule la rapidez en este caso y compare con el valor señalado por el deslizador v. 
3. Grafique d versus t y v versus t. Active la casilla Gráficas y compare  con las gráficas que usted ha realizado.

Distinción

Sendero Pedagógico 
para la 
Enseñanza y Divulgación de la Ciencia

incluido en

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Encuentro 2016

 XVI 

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Intercambio con la Enseñanza de las Ciencias

Ondas Gravitacionales

Arribo de Ondas Gravitacionales a LIGO

Ver más en:
http://ondasquenosrodean.blogspot.com/p/arribo-de-ondas-gravitacionales-ligo.html

Fig 1. Esquematización, mediante un entramado de líneas, de la deformación que sufre

 el espacio-tiempo alrededor de un cuerpo masivo (planeta a la izquierda y  estrella a la derecha).

Fig. 2. Albert Einstein, el creador de la Teoría General de la Relatividad. Representación de la confitería criolla en el cumpleaños del autor del presente blog. Diseño de Nayarit D. Escalona T.

Por fin se despliega el velo sobre las ondas gravitacionales. Cualquier cuerpo masivo establece un campo gravitacional que se extiende en la geometría deformada del espacio-tiempo que le rodea, como se muestra en la figura 1. Cuando tal espacio-tiempo se perturba por cualquier motivo, se generan ondas gravitacionales que viajan a la velocidad de la luz. Se sabía de su existencia, el grande de la física del siglo xx las predijo hace 100 años. Fueron magistralmente postuladas por Albert Einstein (figura 2) en 1916 a partir de su Teoría General de la Relatividad como la perturbación del espacio-tiempo que rodea objetos masivos, durante la ocurrencia de grandes cataclismos gravitacionales. Bajo tales circunstancias, la radiación producida en forma de ondas, producto de la subsecuente conversión de la masa en energía en ciertos casos, perturba y deforma el espacio-tiempo a medida que se propagan a la velocidad de la luz. A su paso, todo cuerpo material se encoge y estira en forma ondulante. Un velero flotando en la superficie del agua sube y baja al vaivén de las olas, un electrón vibra sumergido en el campo electromagnético de la luz, las placas tectónicas de la Tierra ondulan cual olas al ritmo las de ondas sísmicas, las partículas del aire se bambolean al paso de las ondas sonoras, y los objetos materiales cambian sus dimensiones al compás de la frecuencia de las ondas gravitacionales que los abordan. 

    Varios son los mecanismos que generan ondas gravitacionales, a saber:  objetos masivos (estrellas de neutrones, parejas de agujeros negros orbitando uno alrededor del otro) muy acelerados, colisión de agujeros negros, colapso de núcleos estelares (supernovas), coalescencia de estrellas de neutrones o enanas blancas, y a partir de remanentes de radiación gravitacional liberada durante la creación del Universo.

Fig. 3 Simulación de los dos agujeros negros antes de fusionarse, 

según LIGO. Disponible en: https://www.ligo.caltech.edu/image/ligo20160211d  

El 14 de septiembre de 2015 fue detectada su primera señal por LIGO (Laser Interferometer Gravitation Observatory; en español, Observatorio de Interferometría Láser de Ondas Gravitacionales) proveniente del choque de dos agujeros negros (figura 3) –restos de estrellas supermasivas que han explotado- a 1.300 millones de años luz de distancia de la Tierra; es decir, después del evento, la señal viajando a la velocidad de la luz tardó mil trescientos millones de años en llegar a nuestro sistema solar. El 11 de febrero de 2016 se certificó que la señal detectada realmente provenía de una onda gravitacional. Dos detectores LIGO separados 3.000 entre sí, registraron por separado la señal. Tal evidencia no dejó duda sobre la  existencia de las ondas gravitacionales.

Fig. 4  Señales de las ondas gravitacionales detectadas (curvas gruesas) y predichas por la teoría (curvas delgadas). Los arreglos son de los autores del presente blog a partir de la información disponible en la página oficial de LIGO en: https://www.ligo.caltech.edu/image/ligo20160211a

En la figura 4 se muestran las señales de las ondas gravitacionales detectadas (curvas gruesas) por los observatorios LIGO ubicados en Livingston (Louisiana, USA) y Hanford (Washington, USA), provenientes de los dos agujeros negros de aproximadamente 30 veces la masa del Sol, que se fusionaron a 1.3 millones de años luz de distancia, así como las predicciones (curvas delgadas) de la teoría general de la relatividad de Einstein. En el eje X se representa el tiempo, y en el eje Y Strain (10^-21), representa la fracción en que fueron distorsionadas las distancias al paso de la onda.  Las dos curvas gruesas inferiores de la figura muestra el corrimiento temporal entre las dos señales recibidas en ambos observatorios separados una distancia de 3.000 km entre sí (ver figuras 5, 6a y 6b). La señal llegó primero a Livingston y 0,007 segundos después fue detectada en Handfor. Esta coincidencia demuestra sin lugar a dudas que se trataba de la misma señal. Es asombrosa la coincidencia entre la predicción de Einstein (curvas delgadas) y la señal captada (curvas gruesas).

Fig. 5 Ubicación de los observatorios en Estados Unidos: Hanford Livingston (Louisiana), arriba a la izquierda y Livingston (Washington), abajo a la derecha. Están separados 3.000 km, como se indica con la linea roja. Fotografía hecha con  Google Earth.

Fig. 6a Observatorio LIGO en Hanford.Fotografía hecha con  Google Earth.

Fig 6b Observatorio LIGO en Livingston.Fotografía hecha con  Google Earth.

En el siguiente video realizado con Google Earth se puede apreciar la ubicación de cada observatorio en Estados Unidos.

   

El video que sigue a continuación, cortesía de LIGO (Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=FlDtXIBrAYE), ilustra lo descrito en el texto de arriba. Se pueden activar los subtítulos en ingles con la tecla engranaje.

Este otro da una excelente explicación gráfica de las ondas gravitacionales y sus efectos sobre la materia.

    

Bibliografía:

B. P. Abbott et al. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger. Phys. Rev. Lett. 116 , 061 102. 

Publicado el 11/02/2016 en: http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.116.061102#fulltext

Escala musical

 La escala musical

Detalles en: http://ondasquenosrodean.blogspot.com/p/la-fisica-de-la-musica.html

Se remonta a los griegos el estudio cuantitativo de la primera escala musical cuando, al relacionar entre sí los sonidos emitidos por un instrumento de una sola cuerda montada en una caja de resonancia conocido como monocordio, descubren los intervalos musicales (diferencia de tonos), al variar su longitud mediante el desplazamiento de una cuña móvil. Fue Pitágoras (580-520 A.C.) quien se dio cuenta de la relación existente entre la longitud de la cuerda tensada y el conjunto de notas que emite, al pulsarla en diferentes puntos; de que existe una armonía en la música, que depende a su vez de cómo se tensen y de qué tan larga sea la cuerda. Esta armonía surge de la adaptación evolutiva de nuestro oído a la diversidad de sonidos emitidos por los objetos en la naturaleza. Cualquier objeto cuando vibra, lo hace con su modo fundamental y con un conjunto de armónicos cuyas frecuencias de vibración son múltiplos enteros o semi enteros de la frecuencia fundamental. En consecuencia, nuestro cerebro ha evolucionado en forma tal que, aquellos sonidos que guarden una relación de frecuencia en forma de proporción simple (2/1, 3/2, 4/3…), los reconoce como sonidos consonantes y producen una sensación armoniosa y agradable al escucharlos. De esto se dio cuenta Pitágoras y por lo tanto, procedió a establecer la primera escala musical.

A partir de un minucioso estudio, Pitágoras determina que la cuerda tensada de cierta longitud (L) emite un sonido cuya sensación auditiva es exactamente igual al generado cuando se pulsa su mitad (L/2), pero con un tono más agudo de frecuencia doble; hoy en día, se conoce como la octava (L/2) de la nota inicial denominada tónica (L).  Luego, la dividió en tres partes iguales y pulsó dos tercios (2L/3) de la misma, encontrando que la cuerda emitía un sonido consonante, armonioso, es decir agradable al oído y que su frecuencia era 3/2 veces mayor que la frecuencia de la tónica; este intervalo se conoce como la quinta.  La dividió en cuatro partes iguales y pulsó tres cuartas (3L/4) partes de su longitud, encontrando que la frecuencia de la nota era 4/3 mayor que la frecuencia de la tónica; este intervalo se denomina la cuarta. Procediendo de manera similar se obtienen los demás intervalos que se muestran en la primera columna a la izquierda de la tabla de abajo. En particular, para una cuerda de longitud L, el segundo intervalo se obtiene pulsando la cuerda a 2/3 de la longitud de la quinta la cual es igual a 2/3 L; es decir, a (2/3). (2/3) L = 4/9 L; como la frecuencia de la nota que da este trozo de cuerda es 9/4 f = 2,25 f y superior  a 2 f, es necesario elegir una cuerda que sea el doble de 4/9 L, es decir de longitud 8/9 L; de modo que al ser pulsada emita un tono entre f y 2f y su frecuencia será de 9/8 f = 1,125 f. En forma análoga se procede con los demás intervalos para obtener las notas musicales y completar así las siete que se conocen: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si. Por otra parte, si se elige como tónica la nota Do₄ cuya frecuencia es de 261,63 Hz se puede calcular la frecuencia de cada nota como se indica en la columna número cinco de la misma tabla.

La escala, establecida mediante este procedimiento se conoce como Escala Natural y fue obtenida a partir del tercer armónico de la frecuencia de la Tónica; es decir, la Tónica de frecuencia f se multiplicó por 3 para obtener 3f, pero como este valor es superior a 2f se debe dividir por 2 para que esté comprendido en el rango de la octava y obtener la quinta. Para las demás notas se procede como se describió antes. Por otra parte, en la columna 4 se calculó la razón entre la frecuencia de la nota y la que le precede; así que las notas que guardan una relación de 9/8 están separadas un tono y las relacionadas por 256/243 están separadas medio tono o un semitono. Por consiguiente, la escala natural está estructurada por 5 tonos y 2 semitonos; aunque, para este caso, estos dos semitonos no son exactamente la mitad de un tono. Para solventar este problema se inventó la Escala Temperada, constituida por 12 semitonos (7 tonos y 5 semitonos) separados regularmente en cada octava; en el piano, los tonos son las teclas blancas y los semitonos las negras. 

En la figura de tabla siguiente se muestran las notas musicales de las ocho octavas del piano según la escala temperada. 

Cada tecla tiene marcado el nombre de la nota que emite cuando se pulsa. Las blancas tienen marcada su correspondiente frecuencia en la fila inferior de números; y la frecuencia de las negras aparecen en la fila superior. La relación de frecuencia de una nota y la anterior en esta escala es igual a  1,0595 , lo que corresponde a un medio tono. Esta escala tiene por referencia la nota La₄ (A₄) con frecuencia de 440 Hz. A partir de la cual se construyen el resto de notas por encima o debajo de este valor. Así por ejemplo, para obtener la frecuencia de la nota Si₄ (B₄)  se multiplica 440 por 1,0595 y se obtiene 466,16 Hz, valor de frecuencia del sostenido, el cual se denota así: Si_#4 (B_#4). Para obtener la siguiente nota, es decir el Do₅ (C₅) se procede de la misma forma.   En la tabla siguiente se muestran las doce notas calculadas de esta manera.

En la presentación en Power Point que se muestra abajo se describe con detalles lo antes expuesto.

Escala musical

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Este applet permite activar las notas musicales comprendidas en una octava.

Disponible en: http://www.slideboom.com/presentations/1358576/Escala-musical  

Movimiento amortiguado

Movimiento oscilatorio 
amortiguado

Ver en extenso en: 
http://ondasquenosrodean.blogspot.com/p/oscilaiones.html

Cualquier sistema oscilante libera energía hacia el medio que le rodea. Como en cada periodo gasta cierta fracción de la energía inicial con la cual comenzó a moverse, en consecuencia, su amplitud y velocidad también decrecen en el tiempo; después de varias oscilaciones, dependiendo de la intensidad con la cual interactúa con el medio que le rodea, el sistema se detiene. Toda la energía que tenía almacenada pasó como energía térmica al ambiente, por efecto de las fuerzas de fricción que intervienen en el proceso.   

      Es interesante analizar el efecto que tiene la disipación de la energía a través de la fricción, sobre el movimiento del sistema; dependiendo del valor del coeficiente de viscosidad λ en comparación con los parámetros que caracterizan al sistema, este oscila o no; oscila o se amortigua.  A partir de la relación de ω se puede comparar λ con 2(λM)^1/2, o el periodo To con el tiempo de relajación del sistema, el cual es 2πτ. En tal sentido se pueden diferenciar cuatro casos de particular  interés, a saber:

a) MAS cuándo λ = 0,

b) sub amortiguado cuando ω > 0, lo que es equivalente a

λ < 2(kM)^1/2,    o   To  <  2πτ ,                              

c) críticamente amortiguado sí

       λ = 2(kM)^1/2,    o   To  =  2πτ , y                                     

d) sobre amortiguado sí

    λ > 2(kM)^1/2,    o   To  >  2πτ.                                    

A continuación se muestran dos applets que permiten simular y  analizar el comportamiento de este tipo de sistema mecánico. El de la figura de abajo simula el movimiento de un sistema masa resorte amortiguado, aunque no se muestra el mecanismo disipador de energía. Se puede variar M (masa), k (constante elástica), λ (constante de amortiguamiento) y  φ (ángulo de fase) con los respectivos deslizadores. Se puede observar cómo disminuye la amplitud x_o a medida que el sistema oscila. Con el mismo se puede hacer la correspondiente gráfica del desplazamiento x(t). Abajo se muestra la ecuación diferencial con su respectiva solución para x(t). Debajo de los deslizadores se pueden leer los valores de la frecuencia natural ωo, la frecuencia natural amortiguada ω,  y el periodo T.

Applets disponibles en:
 http://tube.geogebra.org/m/1680285   
y 

http://ondasquenosrodean.blogspot.com/p/movimiento-oscilatorio-amortiguado.html

Actividades:

Pulse el botón REINICIO y luego el botón INICIO. Para los valores indicados (M = 100 kg, k = 500 N/m  y  λ = 50 Kg/s), el sistema oscila con movimiento amortiguado, y su desplazamiento en el tiempo lo da la gráfica  adjunta. Observe que el período T es de 2.81 s, expresado como T = 2.81 en la parte inferior derecha del recuadro de deslizadores, y que también se puede leer directamente de la gráfica. También se calcula   ωo   y  ω. 

Más detalles en: 

http://ondasquenosrodean.blogspot.com/p/movimiento-oscilatorio-amortiguado.html