El Cuatro Venezolano (3/3)

La matemática del Cuatro (3/3)

Como es bien conocido, la distancia de separación entre dos trastes consecutivos disminuye desde el clavijero hacia el orificio de la caja de resonancia; el primer par de trastes del extremo superior del diapasón está más separado y el último par de su extremo interior, está más pegado.

      Los luthieres tienen la habilidad y el conocimiento artesanal para colocar los trastes sobre el diapasón del Cuatro criollo que fabrican con admirable precisión; los físicos manejan modelos matemáticos sencillos para establecer la posición de cada traste. Para un estudio completo de las vibraciones de las cuerdas tendríamos que partir de las leyes de Newton, aplicarlas a un caso particular como la cuerda en vibración y formular la ecuación de ondas con su respectiva solución; extremos fijos, son las denominadas condiciones de frontera para la cuerda, en este caso. A partir de aquí se deduce que la relación entre la frecuencia de vibración de la cuerda, su tensión T y su masa por unidad de longitud μ, es la obtenida en la primera parte de La física del Cuatro (para ahondar en el tema se sugiere revisar Física Interdisciplinaria: Las Ondas en este Blog). Cuando la cuerda al aire (sin ser pisada) está afinada a la nota musical que le corresponde, mantiene constante su tensión y masa; a medida que se pisan los trastes, se disminuye su longitud. Luego podemos afirmar para la cuerda libre, que

 

donde c es una constante que depende de la tensión y la masa. La misma cuerda pisada en el primer traste tiene la longitud L₁ y vibra con la frecuencia f₁ = c/L₁  cuando se pulsa; pisada en el segundo traste tiene la longitud L₂ y vibra con la frecuencia f₂ = c/L₂, y así sucesivamente hasta el último traste.

En consecuencia, al relacionar entre sí las longitudes L₁ y L₀, se obtiene que

y como,

(ver La Escala Musical y su Origen en este Blog), luego

Es decir, la cuerda pisada en el primer traste tiene una longitud que es 0,9439 veces la longitud L₀ de la cuerda al aire. En consecuencia, la cuerda  disminuyó su longitud en

En el caso de un Cuatro típico de 14 trastes, las cuerdas tienen una longitud de 559 mm; así que, la longitud L₁de la cuerda es de 527,6 mm y ΔL₀₁ = 31,4 mm.  Este último valor es la separación entre la cejuela y el primer traste.

     Al repetir el procedimiento anterior, se encuentra que la cuerda pisada en el segundo traste tiene una longitud de

y la separación  entre el primero y segundo traste es

Al pisar el segundo traste la cuerda tiene una longitud de 498 mm y la separación entre el primer y segundo traste es ΔL₁₂ = 29,6 mm.

En general, la longitud de la cuerda para el n-ésimo traste, medida desde el puente, es

  y la separación entre cualquier par de trastes consecutivos es

 donde n = 0,1,2,3,.. De esta ecuación se puede ver que la separación entre los trastes es una función exponencial, y en consecuencia su separación varia a lo largo del diapasón; si la dependencia fuera lineal, la separación sería constante, pero este no es el caso.

          A continuación se calcula la frecuencia de la nota musical emitida por la cuerda La₃ (A₃) cuando se pulsa, haciendo presión en cada uno de los trastes. La cuerda al aire (libre), emite la nota  La₃ cuando está afinado. La frecuencia de esta nota es 220 Hz (vibraciones por segundo). Al pisarla en el primer traste, su longitud disminuye y en consecuencia la frecuencia aumenta en un factor de 2^1/12 = 1,0595; por consiguiente, la frecuencia es 220 x 1,0595 Hz = 233,08 Hz, valor que coincide con la nota La_3#; si 233,08 se vuelve a multiplicar por 2^1/12 se obtiene 246,94 Hz, frecuencia de la nota Si₃. Repitiendo este procedimiento se logra identificar la secuencia de notas para todos los trastes, como se muestra en la siguiente tabla. También se puede apreciar en la misma, la identificación de las notas correspondiente a cada traste para las demás cuerdas.

                               Tabla: Notas de las cuerdas 

TRASTE	LONGITUD (mm)	Primera cuerda		Segunda cuerda	Tercera cuerda	Cuarta cuerda
		f (Hz)	Nota
0	559,0	220,00	La3	Re4	Fa#4	Si3
1	527,6	233,08	La#3	Mi4	Sol4	Do4
2	498,0	246,94	Si3	Fa4	Sol#4	Do#4
3	470,1	261,63	Do4	Fa#4	La4	Re4
4	433,7	277,16	Do#4	Sol4	La#4	Re#4
5	418,8	293,66	Re4	Sol#4	Si4	Mi4
6	395,3	311,13	Re#4	La4	Do5	Fa4
7	373,1	329,63	Mi4	La#4	Do#5	Fa#4
8	352,1	346,23	Fa4	Si4	Re5	Sol4
9	332,4	369,99	Fa#4	Do5	Re#5	Sol#4
10	313,7	392,00	Sol4	Do#5	Mi5	La4
11	296,1	415,30	Sol#4	Re5	Fa5	La#4
12	279,5	440,00	La4	Re#5	Fa#5	Si4
13	263,8	466,16	La#4	Mi5	Sol5	Do5
14	249,0	493,88	Si4	Fa5	Sol#5	Do#5

En la figura de abajo se identifica la nota musical producida por la primera cuerda (La3) cuando se pulsa en cada traste. Las de color amarillo son los sostenidos correspondientes a cada nota.

Actividades:

1.     Mida la longitud de las cuerdas de un Cuatro criollo de buena calidad y las posiciones de los trastes a partir del puente. Luego, calcule con la ecuación anterior las posiciones de los trastes; compare con las medidas. Represente  en una tira de papel milimetrado los trastes y observe si coincide con las posiciones del Cuatro usado.

2.     En la Web se puede obtener varios software para afinar instrumentos. Uno de estos es Pitch Perfect Musical Instrument Tuner, de fácil manipulación. Con este paquete se puede afinar el Cuatro; hágalo. Luego pulse la primera cuerda y compruebe que su sonido corresponde  a la nota La₃. Elija cualquier traste, presiónelo y pulse la cuerda. Mida con el software anterior su frecuencia e identifique la nota emitida; compruebe que, dentro del error experimental, coincide con el valor correspondiente de la tabla. Repita lo anterior con las otras cuerdas.

           

Para consultar:

1. http://jesuscuatro.wordpress.com/2011/04/07/construccion-del-diapason-del-cuatro-venezolano/

2. http://www.raceandhistory.com/historicalviews/cuatro.htm

3.http://www.laguitarra-blog.com/2011/03/17/el-cuatro-venezolano-origenes-historicos-y-construccion/